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Die Rechteckfunktion, auch rect-Funktion, ist eine unstetige mathematische Funktion mit folgender Definition:

rect ⁡ ⁡ ( t ) = Π Π ( t ) = { 0 wenn | t | > 1 2 1 2 wenn | t | = 1 2 1 wenn | t | < 1 2 {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)={\begin{cases}0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\\[3pt]{\frac {1}{2}}&{\text{wenn }}|t|={\frac {1}{2}}\\[3pt]1&{\text{wenn }}|t|<{\frac {1}{2}}\end{cases}}}

Alternative Definitionen, die vor allem im Bereich der Signalverarbeitung üblich sind, legen die Rechteckfunktion vereinfacht fest als:cite-ref-1[1]

r e c t d ⁡ ⁡ ( t ) = { 1 wenn | t | ≤ ≤ 1 2 0 wenn | t | > 1 2 {\displaystyle \operatorname {rect_{d}} (t)={\begin{cases}1&{\text{wenn }}|t|\leq {\frac {1}{2}}\\[3pt]0&{\text{wenn }}|t|>{\frac {1}{2}}\end{cases}}}

• Allgemeines

• Verschiebung und Skalierung

• Ableitung

• Weitere Zusammenhänge

• Siehe auch

• Weblinks

• Einzelnachweise

Die Rechteckfunktion kann auch mit Hilfe der Heaviside-Funktion Θ Θ ( x ) {\displaystyle \Theta (x)} ausgedrückt werden als:

rect ⁡ ⁡ ( t ) = Θ Θ ( t + 1 2 ) ⋅ ⋅ Θ Θ ( 1 2 − − t ) = Θ Θ ( t + 1 2 ) − − Θ Θ ( t − − 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)\cdot \Theta \left({\frac {1}{2}}-t\right)=\Theta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\Theta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)}

Dabei ist Θ Θ ( 0 ) = 1 2 {\displaystyle \Theta (0)={\tfrac {1}{2}}} gesetzt.

Die Fourier-Transformation der Rechteckfunktion ergibt die sinc-Funktion sinc ⁡ ⁡ ( x ) = sin ⁡ ⁡ ( π π x ) / ( π π x ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)=\sin(\pi x)/(\pi x)} :

F { rect ⁡ ⁡ ( t ) } = sinc ⁡ ⁡ ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\operatorname {rect} (t)\}=\operatorname {sinc} (f)}

Das gilt auch für r e c t d ⁡ ⁡ ( t ) {\displaystyle \operatorname {rect_{d}} (t)} . Umgekehrt gilt allerdings formal nicht

F { sinc ⁡ ⁡ ( t ) } = rect ⁡ ⁡ ( f ) {\displaystyle {\mathcal {F}}\{\operatorname {sinc} (t)\}=\operatorname {rect} (f)} .

Denn es ist sinc ∉ ∉ L 1 ( R n ) {\displaystyle \operatorname {sinc} \notin L^{1}(\mathbb {R} ^{n})} , und somit konvergiert das Integral der gewöhnlichen Fouriertransformation nicht. Die Gleichung gilt allerdings im Sinne der Fouriertransformation temperierter Distributionen.

Eine Rechteckfunktion, die bei t 0 {\displaystyle t_{0}} zentriert ist und eine Dauer von T {\displaystyle T} hat, wird ausgedrückt durch

rect ⁡ ⁡ ( t − − t 0 T ) . {\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-t_{0}}{T}}\right)\,.}

Die Rechteckfunktion ist als unstetige Funktion weder im klassischen Sinne differenzierbar noch ist sie schwach differenzierbar. Allerdings ist eine Distributionenableitung durch die diracsche Delta-Distribution δ δ {\displaystyle \delta } möglich:

rect ′ ⁡ ⁡ ( t ) = δ δ ( t + 1 2 ) − − δ δ ( t − − 1 2 ) {\displaystyle \operatorname {rect} '(t)=\delta \left(t+{\frac {1}{2}}\right)-\delta \left(t-{\frac {1}{2}}\right)}

Die Faltung zweier gleicher Rechteckfunktionen ergibt die Dreiecksfunktion, die Integration eine Rampenfunktion. Eine Form mit periodischer Fortsetzung der Rechteckfunktion sind die Rademacherfunktionen. Eine weitere Form der periodischen Fortsetzung von rect {\displaystyle \operatorname {rect} } ergibt die konstante Funktion 1 {\displaystyle \operatorname {1} } .

Die mehrfache Faltung mit n ∈ ∈ N {\displaystyle n\in \mathbb {N} } Faltungen

rect ⁡ ⁡ ( t ) ∗ ∗ rect ⁡ ⁡ ( t ) ∗ ∗ rect ⁡ ⁡ ( t ) ∗ ∗ ⋯ ⋯ ⏟ ⏟ n -mal {\displaystyle \underbrace {\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\operatorname {rect} (t)*\dotsm } _{n{\text{-mal}}}}

ergibt für n → → ∞ ∞ {\displaystyle n\to \infty } mit einer geeigneten Skalierung die Gaußsche Glockenkurve.

• Rechteckschwingung: Anwendung in der Signaltheorie und Elektrotechnik

• Eric W. Weisstein: Rectangle Function. In: MathWorld (englisch).

cite-note-11. ↑ Hans Dieter Lüke: Signalübertragung. Grundlagen der digitalen und analogen Nachrichtenübertragungssysteme. 6., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58753-5, S. 2.